下の図のように、1辺の長さが2cmの立方体ABCD−EFGHがあります。点P が立方体の辺上を点F から点G を通って点Hまで動きます。さらに面EFGH上で、2点E,P を結ぶ直線上に点E からの長さが1cm となるような点Qをとります。このとき、次の問に答えなさい。

Pic_3087q_2

(1)点Q が動いたあとを下の図2に描きなさい。

Pic_3088q

(2)角FEP が30度となるところに点Pをとるとき、三角形AQHを辺AE を軸として1回転させたときにできる立体の体積を求めなさい。

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こたえ

(1)点Pが頂点F →G →H の順に移動していくときの点Qの動きは、下の図3のようになり、

Pic_3089a

頂点E を中心とした半径1cmの扇形の弧を描きます。

(2)角FE P が30度のとき、下の図4のようになり、

       Pic_3090a

角PEH=60度 で、EQ=1cm、EH=2cm なので、

三角形EQH が 三角定規の1つ ( EQ : EH = 1 : 2 )と同じ形となり、

角EQH=90度、角EHQ=30度 とわかります。

このことから、頂点E から最も近いHQ上の点は、点Q という

ことがわかります。(点と直線のキョリは、点から直線に下ろした

垂線が最も短くなります)

逆に頂点E から最も遠いHQ上の点は、頂点H です。

三角形AQHをAE を軸として回転させると、下の図5のように

     Pic_3091a

円すいから円すいをくり抜いた図形ができ、その体積は、

 2×2×3.14×2÷3−1×1×3.14×2÷3

=(4−1)×3.14×2÷3

=3.14×2=6.28c?

となります。

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