下の図のように、半径6cmの円周上を動く点P とQ があります。PとQは同じ点を同時に出発し、点Pは時計回りに進み、1周するのに20秒かかり、点Qは反時計回りに進み、1周するのに30秒かかります。円の中心をOとして、三角形OPQ の面積について考えます。

    Pic_2262q

(1)出発して5秒後の三角形OPQ の面積を求めなさい。

(2)三角形OPQの面積は、最大でいくらですか。

(3)出発してから20秒後までの間に、三角形OPQの面積が出発してから2秒後の面積と同じになる時間をすべて求めなさい。

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こたえ

(1)最初に出発する場所を点A とすると、

1周するのに点Pは20秒、点Qは30秒かかるので、5秒間に

点Pは、点Aから円の1/4の90度、

点Qは、点Aから円の1/6の60度、

それぞれ進むので、角POQ=90+60=150度 となります。

下の図1のように、三角形POQは、OPを底辺とすると、

図のようにQRが高さとなります。

   Pic_2263a

三角形OQR は、正三角形の半分(三角定規)なので、

QR の長さは、OQの半分で、3cmです。

よって、5秒後の三角形OPQの面積は、6×3÷2=9cu です。

(2)OPを底辺として考えるとき、三角形OPQの面積が最大になるのは、

高さQRの長さが最大のときで、OQの長さと同じになるときで、

そのときの面積は、6×6÷2=18cu です。

(3)点Aを出発して2秒後の点P,Qの位置は、

点P は、点Aから円の1/10 の36度

点Q は、点Aから円の1/15 の24度

それぞれ移動したところにあり、角POQ=60度です。

つまり、三角形POQは正三角形になります。

正三角形と同じ面積になるのは、下の図2のように、

角POQ=120度 のときです。

   Pic_2264a

つまり、2秒後と同じ面積になるのは、角POQ の大きさが、

120度、240度、300度のときです。

2秒後、点Pは36度、点Qは 24度 → 角POQ = 60度

角POQ=120度 → 点Pは 72度、点Qは 48度 → 4秒後

角POQ=240度 → 点Pは144度、点Qは 96度 → 8秒後

角POQ=300度 → 点Pは180度、点Qは120度 → 10秒後

点P は20秒で 360度移動するので、さらに 

角POQ=420度 → 点Pは252度、点Qは168度 → 14秒後

角POQ=480度 → 点Pは288度、点Qは192度 → 16秒後

角POQ=600度 → 点Pは360度、点Qは240度 → 20秒後

よって、4秒後、8秒後、10秒後、14秒後、16秒後、20秒後

の6回あります。

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