正五角形ABCDE があります。下の図のように、辺BC上の点P,辺DE上の点Qについて、CD とPQ が平行になるように正五角形ABCDE をPQ で折ったところ、点A,B,E はそれぞれ点A’,B’,E’に移りました。また、点B’,C,D,E’の4つの点は、点A を中心とする同じ円の円周上にありました。このとき、角アの大きさを求めなさい。

Pic_3115q

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こたえ

まず、正五角形の1つの角度が108°ということを利用して、下の図1のように

Pic_3116a

三角形ABC が二等辺三角形なので、

角BCA=(180−108)÷2=36°

角BPQ=108°なので、

角BPB’=(180−108)×2=144°

そこから、角B’PC=180−144=36°ということがわかります。

角B’PC = 角BCA = 36° ということから、

錯角が等しいので B’P とACが平行であることがわかり、

求める 角ア=角B’AC ということになります。(錯角)

点B’,C,D,E’ が同一円周上にあるので、頂点A と結ぶと下の図2のように、AB’,AC,AD,AE’が長さが等しくなり、

Pic_3117a

図形の対称性から、角ア=角B’AC=角E’AD となります。

また、AC=AD=BE=B’E’ なので、下の図3のように、

三角形AB’E’が正三角形ということがわかります。

Pic_3118a

 

ゆえに、求める角アの大きさは、角B’AE’=60°より、

(60−36)÷2=12°となります。

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