下の図のように、AB=15cm、AC=30cm、角A の大きさが90度の直角三角形ABC があります。

Pic_2896q 

(1)三角形ABC の中に図のように正方形APQR を入れます。このとき、この正方形の1辺の長さを求めなさい。ただし、QはBC上にあるものとします。

(2)図のようにABの延長上にDを、ACの延長上にE を、BC とDE が平行になるように取ったところ、四角形BDEC の中に図のように同じ大きさの正方形が6個入りました。このとき、BD の長さを求めなさい。

(3)さらに、図のようにADの延長上にF を、AE の延長上にGを、DE とFG が平行になるように取ったところ、四角形DFGE の中に、図のように同じ大きさの正方形が10個入りました。このとき、黄色い部分の面積を求めなさい。

---------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------


こたえ

(1)三角形ABC の面積は、15×30÷2 ですが、

下の図1のように、

三角形ABQ と三角形ACQ の2つに分けると、

    Pic_2897a

2つの三角形は、底辺をAB,AC とすると、

高さは共に正方形の1辺の長さと等しくなります。

2つの三角形の面積の合計は、

正方形の1辺を□cmとすると、

15×□÷2+30×□÷2=(15+30)×□÷2

= 45×□÷2

となります。

よって、15×30÷2=45×□÷2 なので、

□=15×30÷45=10cm と求められます。

(2)(1)より、三角形ABCに正方形APQRを入れたときの各長さは下の図2のようになります。

  Pic_2898a

このことを利用して、四角形BDEC における面積比を下の図3のように表すことができます。

Pic_2899a

C からBD と平行な線がDE と交わる点をS とすると、

四角形BDSC は平行四辺形になり、

下の図4のように四角形BDEC を分けると、

Pic_2900a

三角形BCD : 三角形CDE =15:24=5:8

という面積比であることがわかります。

この 5 : 8 という比は、BC : DE の長さの比、

三角形ABC : 三角形ADE の相似比 になります。

すなわち、AB : AD = 5 : 8 です。

AB=15cm なので、AD=24cm とわかり、

BD=24−15=9cm と求められます。

(3)黄色い部分の面積を求めるには、

四角形DFGE − 正方形10個

とする考え方をとります。

四角形DFGE の面積は、

三角形AFG − 三角形ADE

で求められます。

三角形ADE の面積は、(2)より求められます。

三角形AFG の面積を出すには、

DF の長さを求める必要があり、

(2)と同様にして求めることができそうです。

次に、正方形10個の面積ですが、下の図5のように

Pic_2901a

正方形の1辺の長さの比は、AB:BDと等しくなっています。

なので、10個の正方形の1辺の長さは、DFの長さから求めることができるので、

カギはDFの長さということになります。

(2)の図3、図4のように、四角形DFGE の面積比を表すと

下の図6のようになります。

Pic_2902a

このことから、DE : FG = 27 : 36 = 3 : 4 とわかります。

AF の長さ=AD の長さ(15+9=24cm)の4/3倍 = 32cm

と求められるので、DF =32−24=8cm です。

AB:BD:DF = 15:9:8 なので、

四角形DFGE の中に入っている10個の正方形の1辺の長さは、比の関係より、

6×8/9=16/3(cm) とわかります。

また、三角形AFGの面積=32×64÷2=32×32

三角形ADEの面積=24×48÷2=24×24

なので、求める部分の面積は、

32×32−24×24−16/3×16/3×10個

=8×4×8×4−8×3×8×3−8×2/3×8×2/3×10

=8×8×(16−9−40/9)

=64×23/9

=1472/9=163と5/9(cu) です。

 

<別解>

(2)四角形BCEDの中に入っている正方形の1辺の長さは、

下の図7のように、正方形の1辺の長さ5個分とACの長さが等しいことから、

 Pic_29001a

30÷5=6cm と求めることができます。

下の図8のように三角形DHI に注目すると、

 Pic_29002a_2

三角形DHI と三角形ABC は相似なので、

DH : HI = 1 : 2 とわかり、

HI = 6cm より、DH=3cmです。

よって、BDの長さ=BH+HD=6+3=9cm と求められます。 

 

 

(3)図8の三角形CES も三角形ABC と相似で、CS=9cmより、

CE=9×2=18cm とわかります。

(2)と同様に、下の図9のように正方形の1辺9個分と

AE の長さ(30+18=48cm)が等しいことがわかり、

正方形の1辺の長さは、48÷9=16/3cm と求められます。

Pic_29011a_2

(2)と同様に、DF=ET=8cm、EG=16cm と求められます。

求める面積は、四角形DEGFから正方形10個を除いたもので、

四角形DEGF=平行四辺形DETF + 直角三角形EGT

=DFの長さ × AE の長さ + 8×16÷2

=8×48+8×8 =8×(48+8)

=448cu

正方形10個の面積=16/3 × 16/3 × 10

=2560/9

=284と4/9cu

なので、求める面積=448−(284と4/9)

=163と5/9 (cu) です。

---------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------

1000題の中学受験算数解法集