下の図のように、垂直に交わった2つの直線の間に、円の4分の1のおうぎ形の紙を矢印の方向に次々置き、5番目からは重ねて置いて、1つの図形を作っていきます。1番目のおうぎ形の半径は2cm、2番目のおうぎ形の半径は4cm、3番目のおうぎ形の半径は6cm、・・・ と、半径の長さを2cmずつ長くしていきます。円周率を3.14として次の問に答えなさい。

   Pic_2180q

(1)16番目のおうぎ形まで置いたとき、できた図形の周りの長さを求めなさい。

(2)できた図形の周りの長さが382.52cm になるのは、何番目のおうぎ形まで置いたときですか。
 

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こたえ

(1)16番目のおうぎ形まで置いたとき、一番外側になっているおうぎ形は、13番目、14番目、15番目、16番目のおうぎ形で、それぞれの半径は、26cm、28cm、30cm、32cmです。

それぞれの弧の長さは、

52×3.14÷4、56×3.14÷4、

60×3.14÷4、64×3.14÷4 なので、

この4つの弧を合計すると、

(13+14+15+16)×3.14=58×3.14

=182.12cm です。

さらに、下の図1の青線の長さを加えます。


Pic_2181a

よって、16番目のおうぎ形まで置いた図形の周りの長さは、

(2+2+2+6)+182.12=194.12cm です。

 

(2)周りの長さが382.52cm のときも、図1のような図形になっているので、まず直線部分の長さ12cmを除くと、

382.52−12=370.52cm

が弧の長さの合計です。

□番目のおうぎ形まで置いたとして、(1)の計算を参考にすると、

{□+(□−1)+(□−2)+(□−3)}×3.14=370.52

となることがわかります。

 
よって、

□×4−6=370.52÷3.14=118

となり、

□=(118+6)÷4=31番目

と求められます。

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1000題の中学受験算数解法集