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正多角形の内側にいくつか点があるとき、

正多角形の頂点やこれらの点をまっすぐな線で結び、

正多角形の内側をできるだけ多くの三角形に分割します。

ただし、頂点や内側の点を結ぶ線は交わってはいけません。

また、 内側の点が3個以上一直線に並ぶことはありません。

正三角形の内側にいくつか点があるとき、

たとえば図のように三角形に分割できます。

なお例1では、内側にできた三角形の個数は7個です。

Bandicam_20160205_074100684
(1)次のそれぞれの場合で、内側にできる三角形の個数を求めなさい。

  (ア)正方形と4点   (イ) 正五角形と5点 

(2)正2016角形と28個の点のとき、内側にできる三角形の個数を求めなさい。

(3) 正多角形の頂点の個数と内側の点の個数が等しいとき、

  内側に2016個以上の三角形ができました。

  このような正多角形のうち、最も頂点の数が少ないものは正何角形ですか。

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(1)図のように、アは10個、イは13個

2051

(2)

正N角形と内部の点の個数がM個の場合、

緑部分の三角形の個数は、(N+M)個

黄色部分の三角形の個数は、(M−2)個になる規則性が見つかります。

したがって、N=2016、M=28 の場合

三角形の個数は、2016+28+(28−2)=2070個

(3)

N+N+(N−2)=2016 の場合、

3×N=2018 より、

N=672.666・・・ なので、

最も少ない場合は、正673角形です。

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